煤层渗透性的表征参数(2)

接上一篇:煤层渗透性的表征参数(1)

单向线性稳定流
单向线性稳定流

对于图1所示在单向线性稳定流,在流动方向截取一个长度为dl的微元,在该微元左右两侧瓦斯压力分别为pp+dp。则根据达西定律,有

式(1):

\[v = - \frac{K}{\mu } \cdot \frac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}l}}\]

式中 v——瓦斯在煤层中的流速,m/s;
K——渗透率,m2
μ——瓦斯的动力粘度系数,N·s/m2,对于甲烷,μ= 1.08×10-5N·s/m2
dp/dl——瓦斯压力梯度,Pa/m。

渗透率K的量纲为L2,这是一个仅表征介质性质的物理量,其物理意义可表述如下:对于渗透率为1m2的介质,当动力粘度系数为1N·s/m2的流体在1Pa/m的压力梯度作用下通过1m2的断面时,流体的流速为1m/s。

由于瓦斯气体具有很强的压缩性,而我们往往更关注一段时间内流过煤体介质中的瓦斯的实际物质量,因而可以将以上的流速v换算成在标准状态下的虚拟流速vn。将瓦斯压力从p变为1标准大气压pn的过程看作是等温过程,则有

式(2):

\[pv = {p_n}{v_n}\]

式中 A——瓦斯流过的煤层断面面积,m2
pn——1标准大气压,pn =101325Pa;
vn——换算为标准状态下的流速,m/s。

则由式(1)和式(2)可得

式(3):

\[{v_n} = - \frac{{Kp}}{{\mu {p_n}}} \cdot \frac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}l}} = - \frac{K}{{2\mu {p_n}}} \cdot \frac{{{\rm{d}}\left( {{p^2}} \right)}}{{{\rm{d}}l}}\]

注意vn在实际上是不存在的,但该虚拟的量能很好地表征单位时间流过单位面积煤体断面的瓦斯物质量。另外,根据式(3)可知,对于可压缩的瓦斯,单位时间流过煤层断面的瓦斯的物质量与瓦斯压力梯度并不是线性的关系。令

式(4):

\[\lambda = \frac{K}{{2\mu {p_n}}}\]

则有

式(5):

\[{v_n} = - \lambda \frac{{{\rm{d}}\left( {{p^2}} \right)}}{{{\rm{d}}l}}\]

式中 λ——瓦斯在煤层中流动的透气性系数,m2/(Pa2·s)。

透气性系数λ的量纲也为L-4T3M-2,它表征了瓦斯压力平方的梯度与流过煤体的瓦斯的实际物质量之间的关系:若瓦斯在煤层中流动的透气性系数为1m2/(Pa2·s),煤层中瓦斯压力平方的梯度为1Pa2/m,通过1m2的断面,瓦斯的流速换算为标准状态下的值为为1m/s。

对于甲烷,将μ= 1.08×10-5N·s/m2pn =101325Pa代入式(4),可得

式(6):

\[\lambda = 0.4569{\rm{P}}{{\rm{a}}^2}\cdot{\rm{s}} \times K\]

式(7):

\[K = 2.1886{\rm{P}}{{\rm{a}}^{ - 2}}\cdot{{\rm{s}}^{ - 1}} \times \lambda \]

工程中经常使用的透气性单位是m2/(MPa2·d),由于1MPa=1.0×106Pa,1d=86400s,则有

式(8):

\[1{{\rm{m}}^2}/({\rm{MP}}{{\rm{a}}^2}\cdot{\rm{d}}) = 1.1574 \times {10^{ - 17}}{{\rm{m}}^2}/({\rm{P}}{{\rm{a}}^2}\cdot{\rm{s}})\]

而当λ=1m2/(MPa2·d)时,由式(7)和式(8)可得

\[K = 2.1886 \times 1.1574 \times {10^{ - 17}}{{\rm{m}}^2} = 2.5331 \times {10^{ - 17}}{{\rm{m}}^2} = 2.5667 \times {10^{ - 5}}{\rm{D}} = 2.5667 \times {10^{ - 2}}{\rm{mD}}\]

参考文献: